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Números Enteros

Aquí te mostramo los criterios de divisibilidad.

La divisibilidad de un número es su capacidad de ser divisible para otro número entero y que el resultado de este cociente también sea un número entero.

Aprende más sobre este tema en la sección correspondiente de esta página, pues así sabrás cuáles son las propiedades de la divisibilidad y también encontrarás algunos ejemplos prácticos con números enteros.

Este artículo se centra específicamente en los criterios de divisibilidad que te facilitarán encontrar cuáles son los números divisibles para otros.

Así que ten en cuenta estas reglas y podrás encontrar la divisibilidad de un número de forma sencilla y eficaz.

Sigue leyendo sobre los criterios de divisibilidad:

Los Criterios de Divisibilidad

El criterio de divisibilidad sirve en para saber si un número es divisible por otro, como hemos explicado en el párrafo anterior.

Esta lista será muy útil para aprender con sencillez y eficacia qué números son divisibles para otros.

Criterios de Divisibilidad


Los primeros 20 números consecutivos te darán una pista sobre el resto de números, además sería muy largo poner una lista con todos los números que existen, así que estudia bien nuestra lista y verás lo fácil que es encontrar la divisibilidad de un número sin necesidad de realizar ninguna operación o división alguna:

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Tabla de Divisibilidad

En nuestra tabla de divisibilidad econtraras los criterios de divisibilidad de manera facil. Los criterios de divisibilidad hasta 10 son los más importantes:

2: Para el número dos, el criterio de divisibilidad es muy sencillo, todo número que termina en una cifra par como 0, 2, 4, 6, y 8, es divisible para 2. Por ejemplo el número 492 es divisible para dos ya que es un número par.

3: La divisibilidad del número tres tiene el criterio de que la suma de sus cifras sea un múltiplo de 3, como por ejemplo el número 561 es divisible por 3, porque 5 + 6 + 1 es igual a 12. Y si dividimos 561 para 3 entonces la respuesta será 187.

4: A los criterios de divisibilidad también se los conoce como las reglas de divisibilidad para el número cuatro son que el número formado por las dos últimas cifras sea múltiplo de 4, o también cuando el número termina en doble cero, o también cuando la suma del doble de las dos últimas cifras es divisible por 4. Por ejemplo, el número 600 es divisible por 4, pues el resultado de su división es 150. También 324 es divisible por 4, ya que 24 es múltiplo de 4.

5: La regla de divisibilidad para el número cinco es bastante sencilla. Cualquier número que termine en 5 o 0 será divisible por 5. Por ejemplo, el número 875 es divisible por 5, también el número 900 o el número 65.

6: Para el número seis las leyes de divisibilidad dictan que el número divisible por 6 debe tener divisibilidad para el número 2 y el número 3 simultáneamente. Es decir que si un número es divisible para 2 y 3 al mismo tiempo, entonces será divisible para 6. Por ejemplo el número 30 es divisible para 2 y 3, por lo tanto también es divisible por 6.

7: En el caso del número siete, el criterio de divisibilidad dice que al separar la última cifra de la derecha y multiplicarla por 2, luego restarla de las cifras restantes, la diferencia debe ser igual a 0 o a un múltiplo de 7. Por ejemplo tenemos el número 49, porque 9 por 2 es 18 y si restamos 4 de 18 entonces nos da 14 que es un múltiplo de 7, por lo tanto 49 es divisible por 7.

8: Para el número ocho tenemos que su criterio, para los número muy grandes, es que el número formado por las últimas tres cifras sea un múltiplo de 8, entonces ese número es divisible por 8. Por ejemplo, el número 49280 es divisible por 8 porque 280 es múltiplo de 8. Lo podemos comprobar al dividir 49280 para 8, el resultado es 6160 que también es divisible por 8.

9: En el caso de los números divisibles por nueve, el criterio o regla de divisibilidad es que la suma de sus cifras sea un múltiplo de 9, por ejemplo 4635 es divisible por 9, debido a que 4 + 6 + 3 + 5 es igual a 18 y 18 es múltiplo de 9, por lo tanto si dividimos 4635 para 9, el resultado debe ser un número entero, que en este caso es: 515.

10: El número diez es bastante sencillo pues su criterio de divisibilidad solo se cumple cuando la última cifra de cualquier número es 0. Podemos dar varios ejemplos como, 590, 23980, 70, 580, etcétera. Si dividimos cualquiera de estos números para 10, la respuesta es el mismo número, pero sin el último 0.

Sigue leyendo los criterios de divisibilidad 11 – 20:

11: El número once tiene un criterio de divisibilidad en el cual se debe sumar las cifras del número que tienen una posición impar, y luego las que tienen posición par por separado, luego se resta ambos valores, cuando el resultado es 0 o es un múltiplo de 11, como 11, 22, 33, 44, por ejemplo, entonces el número es divisible por 11, además, si el número es de dos cifras y son iguales, el número será divisible por 11. Como 66, 77, 88, 99.

12: Si el número es divisible por 3 y 4, entonces también será divisible por doce. El número 360 es un ejemplo de esto, porque 3+2+0=9 que es múltiplo de 3 (ver criterio de divisibilidad de 3) y 60 es un múltiplo de 4 (ver criterios de divisibilidad de 4).

13: Para el trece, es un poco más complicado, ya que se debe separar la última cifra de la derecha, luego realizar una multiplicación de esta cifra por 9 y luego restar esto de las cifras restantes. Cuando el resultado de esto sea igual a 0 o sea un múltiplo de 13, entonces se trata de un número divisible por 13. Un ejemplo es 819. Si tomamos el 9 del final y multiplicamos por 9, entonces la respuesta será 81. El resto de cifras es 81, por tanto 81 – 81 = 0. Lo cual quiere decir que 819 es divisible por 13. La respuesta de esta división es 63.

14: En el número catorce, su criterio es que si es un número par y también se divisible por 7.

15: Un número es divisible por quince cuando es divisible para 3 y 5 simultáneamente. 45 es un claro ejemplo de esto.

16: En el caso de número dieciséis, el número hecho por las cuatro últimas cifras es un múltiplo de 16. Por ejemplo 1004176.

17: El número diecisiete tendrá divisibilidad para un número si cuando separamos la última cifra de la derecha, se la multiplica por 5, luego se resta de las cifras restantes y el resultado es igual a 0, 17, o un múltiplo de 17.

18: Con el número dieciocho no es tan complicado su criterio de divisibilidad. Simplemente se trata de un número que es par y es divisible por 9, para que calce en este criterio de divisibilidad.

19: En el número diecinueve tenemos un criterio de divisibilidad que se obtiene al separar la cifra de la derecha, multiplicar por dos y al sumar con las cifras restantes, que el resultado sea un múltiplo de 19.

20: Finalmente con el número veinte, el criterio de divisibilidad se obtiene cuando un número tiene sus dos últimas cifras como un múltiplo de 20 o termina en doble cero.

Ahora que ya sabes cuáles son los criterios de divisibilidad para los veinte primeros números naturales enteros, podrás realizar las operaciones con mayor facilidad.

Gracias por visitarnos y encuentra más información en nuestras otras secciones de la página.

Esto pone fin a nuestros criterios de divisibilidad.

Bienvenido a esta sección sobre la divisibilidad de números enteros.

Que en matemáticas significa que un número entero tiene la capacidad de ser divisible para otro número entero y arrojar un cociente, de la misma manera, entero.

Los números divisibles, poniendo como ejemplo a A y B, también pueden demostrarse como múltiplos, en razón de que B es múltiplo de A, mientras que A es divisor de B.

Existen esta y muchas maneras de representar la divisibilidad de un número y también de encontrar cuáles son aquellos números que son divisibles en relación a otros.

Aquí aprenderás sobre la divisibilidad con información útil para tus tareas e informes.

Qué es Divisibilidad

¿Qué es la divisibilidad?, una pregunta que podremos resolver en una simple frase. La divisibilidad de un número es la capacidad de ser dividido para otro número entero y que la respuesta sea entera y con un resto 0. Aunque esta respuesta es algo informal, resulta muy útil para comprender el concepto que lo daremos a continuación.

Divisibilidad

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La definición de divisibilidad de manera formal es, la propiedad de un número entero de poer dividirse por otro, dando como resultado un número entero. Es decir que, cuando un número es divisible por otro pueden realizar divisiones exactas entre sí para que el resto del cociente sea 0. A este tipo de divisiones se las llama división euclídea.

Un número que es divisible, llamado b, para otro, llamado a que no es igual a 0, tiene esta propiedad si hay un número entero n de tal forma que puedan formar la siguiente ecuación:

b = n x a

También existe un concepto llamado Factor Propio que es la propiedad de ser divisor propio de un número entero, a otro número que también sea entero y divisor del primer número pero diferente a este. Por ejemplo, se puede llamar a 1, 2, 4, 7, y 14, como divisores del número 28.

Como información adicional te podemos decir que todo número entero tiene como divisor al 1 y a sí mismo. Es decir que si se divide cualquier número para 1, da como resultado el mismo número, del mismo modo que si dividimos a un número para sí mismo, el resultado es uno. En todos estos casos, los números involucrados son enteros siempre. Además, si es el caso, en que un número solo tenga estos dos divisores, este número es llamado primo, por ejemplo, el número 13 solo puede ser dividido por 1 y por sí mismo para obtener un cociente entero, por lo tanto el número 13 es un número primo. Pero si, por el contrario, poseen más que estos dos divisores, entonces son llamados números compuestos. La mayoría de números enteros son compuestos.

Comprobar Divisibilidad

es...

Ejemplos de Divisibilidad

Existen muchos ejemplos de divisibilidad, puesto que casi todos los números pueden ser divisibles para otros números. Sin embargo, nos vamos a enfocar en la divisibilidad de dos números en concreto, aquellos que son más comunes en la vida diaria.

La divisibilidad por 2 es el primero de nuestros ejemplos. Para que te puedas hacer una idea, el criterio de divisibilidad de un número nos permite saber cuándo un número es divisible por otro de forma simple y sin necesidad de utilizar la división o métodos más complicados de divisibilidad. Entonces, el criterio del 2 es cuando un número que termina en una cifra par. Es decir que cualquier número que termine en 0, 2, 4, 6, u 8, resulta ser divisible para 2. Por ejemplo, el número 76 es divisible para 2, porque si realizamos la división, da como resultado 38, que también es divisible para 2.

Por otro lado tenemos el criterio de divisibilidad por 5, que es más sencillo pues cualquier número que termine en 0 o 5 es divisible para 5. Podemos tomar un ejemplo con una cifra más grande, por ejemplo 245 que es divisible para 5 porque si dividimos la respuesta es 49, pero en este caso, esta cifra no es divisible para 5.

Propiedades de la Divisibilidad

Existen muchas propiedades de la divisibilidad. En este artículo podrás encontrar las principales propiedades que te ayudarán a resolver los problemas de divisibilidad de los números enteros, tomando en cuenta que el símbolo | es el símbolo de divisibilidad, como a | b significa que a es divisible para b:

  • La propiedad reflexiva, donde cada número entero es divisible para sí mismo.
  • La propiedad transitiva, donde tenemos a | b y b|c entonces a | c.
  • Si a | b y también b | a quiere decir que a es igual a b, o que a es igual a –b.
  • Si a | b y b no es igual a 0, entonces quiere decir que a es menor o igual a b.
  • Si a | b y b | a entonces b/a | b.
  • Si tenemos que c no es igual a 0, entonces a | b si y sólo si ac | bc.
  • Si n | 0 y 1 | n para tono número entero porque 0=0 x n y n=n x 1.
  • Si a y b son números enteros positivos, y b además es primo, entonces p es divisor de m o ambos son primos entre sí.
  • 1 es el único número entero que tiene un solo divisor.
  • Si tenemos dos números elevados al cuadrado, la diferencia entre estos será múltiplo de 4, siempre.
  • Si restamos dos números cuadrados consecutivos, la diferencia es divisible por un número primo.

Ahora que ya conoces la divisibilidad de los números y sus propiedades, ahora podrás enterarte de los criterios de divisibilidad de los números. Recuerda que la divisibilidad de los números y los múltiplos están relacionados entre sí. Visita nuestras otras secciones para aprender más sobre estos temas. Gracias por visitarnos.

Más Información:

Los múltiplos son números que están contenidos un número entero de veces en una cifra determinada.

Aprende qué son múltiplos de los números enteros en este artículo que va a ser de mucha ayuda también cuando quieras conocer más sobre los submúltiplos de un número.

Cuando un número es múltiplo de otro significa que este número lo contiene un número entero de veces.

Esto puede sonar confuso, pero si sigues leyendo podrás entender lo que significa un múltiplo y también cómo se agrupa en las diferentes tablas de multiplicar.

¿Qué es un Múltiplo?

Aprende lo que significa múltiplo al saber que este es un número que contiene a otro por un determinado número de veces, sin que estas veces tengan decimales.

Es decir que se puede dividir al primer número para su múltiplo obteniendo una respuesta entera y sin tener resto en la división.

Definición: Si ambos son enteros, se dice que b es un múltiplo de a, solo si b = n * a, para un entero n.

Si a no es cero, esta es equivalente a decir que b/a es un entero sin resto (con el módulo 0), y este es llamado divisor de b.

Múltiplos


Por ejemplo 77 es un múltiplo de 11 porque 77 = 7 * 11. En este caso b=77, n=7 y a=11.

Un segundo ejemplo es que 36 es múltiplo de 3 porque 36 = 12 * 3. En este caso b=36, n=12 y a=3.

Propiedades de los Múltiplos

  • Primera propiedad: Si b es múltiplo de a, entonces a, distinto de cero, es divisor de b. Lo cual quiere decir que si un número es múltiplo de otro, entonces este otro número también puede dividir al primero en partes iguales y enteras.
  • Segunda Propiedad: Todo número entero es múltiplo de 1: 1 x a = a.
  • Tercera propiedad: Todo número entero es múltiplo de sí mismo: a x 1 = a.
  • Cuarta propiedad: 0 (cero) es múltiplo de cualquier número: 0 x a = 0. Esta propiedad tiene pocos usos.

Por lo tanto, todo número tiene al menos dos múltiplos.

  • Quinta propiedad: Si a y b son múltiplos de n, entonces a+b, a-b y la multiplicación y división de los mismos son para cualquier número natural.

Reglas:

  • Todos los números enteros son múltiplos de sí mismo.
  • Todos los números enteros son múltiplos del número 1.
  • Los múltiplos de 2 siempre terminan en 0, 2, 4, 6, y 8.
  • Cuando un número es múltiplo de 3, la suma de sus cifras también es un múltiplo de 3.
  • Los múltiplos de 5, terminan en 0 y 5.
  • Los múltiplos de 6 terminan en números pares y el cero, pero también la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
  • En los múltiplos de 9, la suma de sus cifras es también múltiplo de 9.

Recuerda siempre qué es el múltiplo de un número, aquel que lo contiene un número entero de veces.

Es decir si tenemos un número que es múltiplo de x, y este número es dividido para su x, la respuesta debe ser un número entero, con resto 0.

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¿Qué es un Submúltiplo?

Incluso si has buscado el término múltiplos en un motor de búsqueda, con seguridad te has visto en la necesidad de entrar aquí para buscar información acerca de los submúltiplos.

Definición: Un número entero a es submúltiplo de otro número b solo si b es múltiplo de a.

Es decir que, cuando un número es múltiplo de otro y tenemos una cifra, lo que es un múltiplo de un número será tal que la cantidad de veces que está repetido este número dentro de otra cantidad sea también un número entero.

Por ejemplo, 36 es múltiplo de 4, porque 4 está repetido 9 veces dentro de 36.

Y esto se puede comprobar al multiplicar 4 por 9, que es igual a 36.

O también se puede comprobar dividiendo 36 para 9, que es igual a cuatro, o 36 dividido para 4 que es igual a 9.

Estas operaciones son posibles dentro del universo de los múltiplos de un número ya que siempre se está trabajando con números enteros.

En el caso de que exista un decimal en alguna de las partes, significaría que tal número no es múltiplos o submúltiplo.

Propiedades de los Submúltiplos

A partir de la definición de submúltiplos que hemos ofrecido, se puede deducir lo siguiente:

  • Uno es un número que es submúltiplo de cualquier otro número, debido a que el número 1 es múltiplo de todos los números.
  • Un número siempre es submúltiplo de sí mismo, porque a su vez, cualquier número es un múltiplo de sí mismo.
  • El caso del 0 es que todo número es su submúltiplo, debido a que cero es un múltiplo de cualquier número.

Cómo Sacar el Múltiplo de un Número

Probablemente estás buscando cómo sacar el submúltiplo de un número, lo cual puedes encontrar en el siguiente párrafo, pero si quieres encontrar los múltiplos de un número, entonces simplemente multiplica el número con 0, 1, 2, 3, … etcétera, hasta que hayas conseguido suficientes múltiplos.

Cómo Sacar el Submúltiplo de un Número

Una forma de sacar los submúltiplos de un número es identificar los divisores del número.

Todos los divisores de un número son también los submúltiplos del mismo número.

Para tu conveniencia hemos realizado el proceso para darte una calculadora para sacar los submúltiplos de un número:

son...

Te recomendamos el siguiente método para saber si un número es múltiplo de otro:

dividir el número entre el otro (diferente a 0) y si el módulo es 0, entonces el número es múltiplo del otro.

Por ejemplo, para probar si 82 es múltiplo de 3 o no, dividimos 82 para 3 y obtenemos 27 con un módulo 1. De allí sabemos que 82 no es un múltiplo de 3.

Otro ejemplo puede ser con el número 76, para saber si es múltiplo de 4, dividimos 76 para 4 y se obtiene 19 con un módulo 0. Entonces sabemos que 76 es un múltiplo de 4.

Para saber si un número es múltiplo de otro también puedes multiplicar el número que quieres saber si es múltiplo de otro número, por los números naturales menores al número principal.

Es decir, si quieres saber si 5 es múltiplo de 45, entonces debes ir multiplicando 5 por 1, por 2, por 3, y así sucesivamente hasta llegar a 45.

De esta manera obtendrás la respuesta, y no solo que 5 es múltiplo de 45, sino también 9.

¿Cuántos Submúltiplos tiene un Número?

En realidad cuántos submúltiplos tiene un número es una pregunta que puede variar mucho de respuesta, ya que los números enteros tienen diferentes múltiplos y suelen variar, a excepción de los números primos, como el 13, que siempre solo tienen dos submúltiplos (1, 13 en el caso de trece), y eso se puede explicar muy bien al aprender las propiedades de los múltiplos.

¿Cuántos Múltiplos tiene un Número?

La cantidad de múltiplos de un número es ilimitada, porque hay un infinito número de enteros.

Si a, b y n son enteros para cada tipo de múltiplo b = a * n puedes encontrar un múltiplo más grande b = a * (n+1).

Ejemplos de Múltiplos

En esta sección daremos a conocer unos cuantos ejemplos de múltiplos, como 5 y 8 que ambos tienen como múltiplo a 40 ya que si los multiplicamos entre sí, obtenemos esta cifra, y si dividimos 40 para 8, obtenemos que nos da como resultado 5, así como si dividimos 40 para 5, obtenemos que la respuesta es 8.

Ejemplos de Submúltiplos

También te ofrecemos algunos ejemplos de submúltiplos, como por ejemplo los del número 56, que son varios, y también de 9999, que aunque parezca un número grande, tiene relativamente pocos submúltiplos a pesar de su alta cifra numérica.

Los submúltiplos de 56 son: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56

Los submúltiplos de 9999 son: 1, 3, 9, 11, 33, 99, 101, 303, 909, 1111, 3333, 9999

Ejercicios de Múltiplos

Como pequeños ejercicios podemos decirte que ubiques algunos de los múltiplos de diferentes números, por ejemplo:

Los múltiplos de 8 son 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, …

Los múltiplos de 9 son 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, …

Los múltiplos de 7 son 0, 7, 14, 21, 28, 42, 56, 70, 84, …

Ejercicios de Submúltiplos

Para los submúltiplos puedes realizar varios ejercicios pues todos los números tienen submúltiplos, pero puedes averiguar cuantos son para tener claro cómo obtenerlos:

Trata de encontrar los submúltiplos de 89, solo encontrarás dos submúltiplos nada más porque 89 es un número primo.

Usa el número 256 para ver cuántos submúltiplos puedes obtener. Verás que este número es algo especial y por eso se lo usa mucho en informática porque cada submúltiplo es el doble del anterior. 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256.

El número 450 tiene muchos submúltiplos. Averigua cuáles son y verás que son más de 10. Revisa el resultado con nuestra calculadora en la parte de arriba.

Ahora que ya sabes que son múltiplos de un número podrás ir a realizar otros ejercicios y a obtener los múltiplos de los números de manera fácil y sencilla.

Por otro lado, si quieres aprender también sobre los divisores de un número, podrás acercarte a la sección indicada en nuestra sitio web https://numeroscompuestos.com.

Gracias por tu visita y deja un comentario o una pregunta y te responderemos a la brevedad.

Más Información:

¿Qué son los números enteros?, para entender lo qué son y para qué sirven este conjunto de números enteros, antes tenemos que saber lo que son los números.

Estos son símbolos que nos permiten enunciar una cantidad determinada, ya sea de forma oral o escrita.

Estos símbolos tienen su nomenclatura escrita de forma universal para que se pueda expresar en cualquier idioma.

Sin embargo, para expresar de forma oral estos números, cada lenguaje tiene una forma distinta de pronunciarlos.

Los úmeros enteros, representado por el símbolo \Bbb{Z}, por su parte son un conjunto bastante amplio.

Estos incluyen a los números naturales que sirven para delimitar los elementos que se encuentran dentro de un conjunto; también incluyen al cero, que no es un número en sí, pero expresa la ausencia de cantidad o un conjunto vacío y sin elementos contables; y dentro de los números enteros también se pueden encontrar a los números opuestos de los números naturales.

Es decir que, los números enteros sirven para expresar una cantidad contable, la ausencia de cantidad y una cantidad negativa que puede ser una deuda o lo opuesto a la cantidad.

Además, los números enteros no incluyen a los números fraccionarios, es decir que los decimales o un número racional no se encuentran dentro del mismo conjunto que se menciona.

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El conjunto de números enteros, por lo tanto, se delimitan para contar o representar elementos que no pueden ser divididos.

Por ejemplo, no se puede decir que en un sitio se encuentran 5,7 personas, estas podrían ser 5 o 6, pero nada intermedio.

Entonces al momento de operar con números enteros, se puede sumar, restar, multiplicar y usar potencias entre estos números, pero si se quiere dividir, solo se lo puede hacer cuando el cociente también es un número entero.

Historia y origen

La historia de los números enteros \Bbb{Z} no se puede contar hasta que se haya explicado brevemente la función y el uso de los números naturales.

Estos últimos son aquellos que sirven para definir la cantidad de elementos que existen dentro de un conjunto determinado.

Son la magnitud de un grupo de elementos en función de sus unidades.

Expresan un valor positivo que aumenta de uno en uno y por partes completas, no parciales, desde el vacío o cero hasta el final de un conjunto, o en ocasiones, hasta el infinito.

Los números naturales, sin embargo, no sirven para realizar la cuantificación de una deuda frente a una cantidad, es decir, un número negativo.

No se puede representar con un símbolo cuando se quiera disminuir una cantidad de elementos mayor a la existente.

Por ello, los números negativos se vienen usando en culturas orientales desde el siglo V como “números deudos” para representar las cantidades contrarias a las riquezas.

Pero no es hasta el siglo XVI que llega hasta oídos occidentales para empezar a representar los números negativos y así obtener una forma de representar los balances contables cuando se necesita una cantidad menor que el cero.

Por ejemplo, para representar la cifra por debajo de la temperatura de congelación, como 10 grados bajo cero o -10 grados centígrados; o la distancia de la altura de un terreno cuando se encuentra por debajo del nivel del mar.

Representación de números enteros

Si se desea obtener un resultado negativo, entonces se tiene que utilizar una extensión del concepto de números naturales para poder obtener un conjunto más grande de números que engloben a los números naturales, a sus opuestos y también la cantidad nula o el cero que representa a un conjunto vacío o sin elementos.

Pero para poder expresar estas cantidades a otra persona, se tiene que utilizar la representación de los números enteros.

Números Enteros

Para ello, se debe introducir un nuevo elemento de estudio que es la recta numérica.

Esta es una representación simbólica del conjunto de números enteros que se trasladan o avanzan de forma lineal.

Es decir que se van sumando de uno a uno dentro de un recorrido en línea recta.

El origen es el vació o cero, y a partir de allí se van sumando de uno en uno hasta el infinito, pero también pueden irse restando con la misma cantidad pero hacia el lado izquierdo del origen.

Es decir que los números positivos están a la derecha del cero, mientras que los negativos se encuentran del otro lado.

Los números enteros, por lo tanto tienen dos formas de representación en la recta numérica.

Por un lado están los números positivos que se representan con el símbolo numérico universal que ya es conocido, como por ejemplo: 1, 2, 3, 4, 5, 6, etcétera.

Y del otro lado izquierdo, los números negativos son el mismo símbolo de los números naturales pero añadiendo un guion o barra a su izquierda en posición media, de esta forma: -1, -2, -3, -4, -5, -6, etcétera.

Mientras que el símbolo del cero sigue siendo la misma como “0”, pero nunca se le debe añadir ningún símbolo, a menos que se esté usando en alguna operación.

Finalmente, aprende sobre nuestro contenido más visto:

¡Gracias por visitar nuestro sitio web!

Se pueden realizar operaciones con números enteros que varían las cantidades en función de la misma recta numérica que los contiene.

Las Operaciones Con Números Enteros

A continuación te mostramos las básicas operaciones con números enteros como la suma, la resta, la multiplicación y la división para que puedas operar con estos números con facilidad.

Siga leyendo para apprender las operaciones con números enteros.

Suma De Números Enteros

La suma de números enteros es la operación que permite acumular diferentes cantidades para obtener una nueva cantidad más grande que la primera.

Para realizar una suma de números enteros, se tienen varios elementos:

los sumandos, cuyo valor absoluto se va a adicionar el uno al otro, el signo de suma “+” y el valor absoluto del resultado.

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La cantidad de sumandos puede variar dentro de una suma, pero el orden de los sumandos no altera el resultado, siempre y cuando todos tengan el mismo signo. Veamos un ejemplo:

8 + 3 = 11

Vemos como en esta suma hay dos sumandos, 8 y 3, el signo de ambos es positivo y por lo tanto se puede invertir el orden de los sumandos y obtener el mismo resultado de 11.

Aunque también puede haber sumas de más sumandos como la siguiente con 5 sumandos:

25+6+31+17+9=88

Sustracción De Números Enteros

Por otro lado, la suma de números enteros también se puede realizar con los números opuestos de los números naturales.

Es decir que se puede hacer con los números negativos, dando como resultado la sustracción de números enteros.

Una resta de números enteros tiene más elementos que la suma.

El minuendo, que es el primer valor y al cual se le resta el siguiente valor; el sustraendo que es el cual se va a disminuir del minuendo; la diferencia, que es el resultado; y el signo que es el menos y se ubica en el número entero negativo.

Se opera de la siguiente manera:

8+(-3)=8-3=5

Como se puede ver, si se toma esta operación como una suma, los sumandos son 8 y -3.

Estos no necesitan estar en orden ya que la suma de ambos podría quedar como -3+8 y dar el mismo resultado de 5.

Sin embargo, si se lo toma como una resta, el minuendo es 8, el sustraendo es 3 y el signo se ubica en el sustraendo para obtener la diferencia de 5.

También hay restas en las que la diferencia es un número negativo, ya que el sustraendo es mayor que el minuendo:

6-9=-3

E incluso restas con todos sus elementos negativos

-7-5=-12

Multiplicación De Números Enteros

Al realizar la multiplicación de números enteros se debe tener en cuenta que los elementos son los factores, el producto y el signo, que es importantísimo al momento de definir el valor del resultado.

Pues cuando todos los factores son positivos, el resultado también es positivo. Pero si uno de los factores es negativo, el resultado será negativo.

Sin embargo, si hay más de un factor negativo en la multiplicación, entonces el resultado puede variar, si hay un número impar de factores negativos, el resultado es negativo, y si hay un número par de factores, entonces el resultado será positivo. Veamos algunos ejemplos:

Factores positivos:

3\times 4 = 12

Factor positivo y factor negativo:

3\times -4 = -12

Número par de factores negativos:

-3\times -4 = 12

Número impar de factores negativos:

-2\times -3\times 4\times -5 = -120

División De Números Enteros

Cuando se realiza la división de números enteros, se utiliza la misma lógica de signos que en la multiplicación. Lo que cambia son los elementos.

El dividendo que es el número que será dividido; el divisor que es el número de partes en las que se dividirá el dividendo y el cociente que es el resultado.

En el caso de los números enteros, no existe resto, ya que si se realiza una división entre números que resulten en un cociente con decimales o números fraccionarios, entonces ya no se trataría de un entero y por lo tanto sería excluido de la recta numérica de números enteros. Veamos:

12\div 4 = 3 -12\div -4 = 3 12\div -4 = -3 -12\div 4 = -3

Potenciación De Números Enteros

Al usar la potenciación de números enteros se puede usar una base entera de signo positivo o negativo, pero el exponente solo puede tener signo positivo, ya que los exponentes negativos tienen resultados fraccionarios y quedan excluidos de los números enteros.

Los elementos son la base, el exponente y el resultado.

Cuando la base es positiva, el resultado siempre será positivo:

5^2 = 25

Pero, si la base es negativa, el signo del resultado depende del exponente: si es par, el resultado es positivo y si es impar, el resultado es negativo:

-4^2 = -4\times -4 = 16 -4^3 = -4\times -4\times -4 = -64 -4^4 = -4\times -4\times -4\times -4 = 256 -4^5 = -4\times -4\times -4\times -4\times -4 = -1024

Esto concluye nuestra discusión sobre operaciones con números enteros.

Aquí vamos a discutir las propiedades de números enteros.

Los números enteros (\Bbb{Z}), además de ser una extensión de los números naturales, también pueden ser considerados como un subconjunto de los números racionales, ya que cada uno de los números enteros puede ser considerado como una fracción en donde el denominador es el número uno.

Sin embargo, las fracciones no enteras quedan excluidas de la recta numérica que contiene a los números enteros porque simplemente no forman unidades, sino porciones de la misma.

En esto se basa la estructura de los números enteros, que además es un conjunto que no tiene ni principio ni fin, porque se pueden acumular tanto hacia el lado de los números positivos al añadir una unidad de forma progresiva e infinita; y también se puede realizar lo mismo al sustraer una unidad hacia el lado de los números negativos.

Aun así, el origen de la recta numérica es el cero y se encuentra en el centro del conjunto.

Siga leyendo para saber todo sobre las propiedades de números enteros.

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Las propiedades de números enteros

Entonces, algunas de las propiedades de números enteros es que es una extensión de los números naturales, es un subconjunto de los números racionales, es un conjunto ordenado porque su progresión se da añadiendo o sustrayendo unidades, por lo tanto también es un conjunto infinito cuyo origen es el cero en el centro pero no tiene ni principio ni fin, es decir que no tiene un número mayor o un número menor en los extremos de la recta numérica.

El valor de los números enteros está relacionado a las unidades, por lo tanto, si el conjunto es un conjunto ordenado, significa que el valor de un número entero se identifica con su posición en la recta numérica.

Es decir que, si un número se encuentra más hacia la derecha de la recta, cualquier número que se encuentre a la izquierda se tratará de un número menor y viceversa.

Por ello se dice que, por ejemplo: 5 > 3 o si se desea usar números negativos, entonces -8 < 5.

En estos dos ejemplos se está diciendo que cinco es mayor que tres, pero que menos ocho es menor que cinco.

Propiedades de operaciones de números enteros

Además de las propiedades de los números enteros como un conjunto, también se tiene que las operaciones que se pueden realizar con estos números también tienen sus propiedades como:

Las propiedades de la multiplicación de números enteros

Tienen que ser operados a través de sus factores, y dependiendo de la cantidad de números con signo negativo, el resultado podría cambiar también de signo con la siguiente lógica:
+ \cdot + = +
+ \cdot - = -
- \cdot + = -
- \cdot - = +

Sus propiedades de multiplicación son la asociativa que habla de que los factores se pueden asociar cuando se multiplican entre sí:
(a \times b) \times c = a \times (b \times c)
La propiedad conmutativa que dice que el orden de los factores no altera el producto:
a \times b = b \times a
El elemento neutro que es la unidad 1, la cual no altera el resultado al multiplicarse:
a \times 1 = a
La propiedad distributiva con respecto a la suma que dicta que los factores se distribuyan en la suma cuando en una ecuación existan ambas operaciones:
a \times (b+c) = (a \times b) + (a \times c)

Propiedades de adición de números enteros

Las propiedades de la adición también se pueden dividir de la misma forma.

La propiedad asociativa, que puede asociar los sumandos a conveniencia:
(a+b) + c = a + (b+c)
La propiedad conmutativa, que dice que los sumandos pueden variar su orden, sin alterar el resultado.

Aunque esto también se puede aplicar para las sustracciones, siempre que se tome a la suma como tal:
a+b=b+a
a-b=a+(-b)=(-b)+a
El elemento neutro de la suma seria el 0 pues no cambia el resultado:
a+0=a
Mientras que el elemento opuesto, es aquel que sumado con su valor entero, tiene como resultado el elemento neutro, 0:
a+(-a)=0

Esto concluye nuestra discusión sobre propiedades de números enteros.

Aquí te presentamos algunos ejercicios de números enteros para que te familiarices con su uso y puedas operar mejor con este conjunto de números.

Los ejercicios de números enteros

A continuación te mostramos nuestros ejercicios de números enteros como la suma, la sustracción, la multiplicación, la división y la potenciación de números enteros con breves explicaciones para que puedas calcular con estos números con facilidad.

Suma de números enteros

No olvides que para poder realizar sumas de números enteros tienes que tomar los sumandos y puedes asociarlos si te resulta más fácil de esta manera:


20+32+53+65+12

=

(53+65)+12

=

52+118+12

=

182

Además no importará el orden de los sumandos cuando quieras operar:


16+41+15

=

15+41+16

=

72

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Y también que tienes que tomar en cuenta al signo de cada número entero para que puedas seguir operando sin cometer ningún error:
25+(-6)+(-9)+5=15
En ocasiones, una suma también puede terminar en vacío, si los números acumulados se anulan en cantidades:

5+(-8)+6+(-3)

=

5-8+6-3

=

0


Sustracción de números enteros

Para realizar la sustracción de números enteros debes tener en cuenta que el orden del minuendo y el sustraendo no pueden cambiarse.

Sin embargo si lo tomas como una suma, lo podrás hacer.

Veamos en este ejemplo. Tenemos a los números 9 y 7 donde el minuendo es 9 y el sustraendo es 7:
9-7=2
Sin embargo, si cambiamos de orden los términos, entonces el resultado varía:
7-9=-2
Por lo tanto no se pueden cambiar de orden si se quiere tener el resultado deseado.

Pero, si se toma esta resta como una suma, entonces sí se pueden variar, pues los términos se convierten en sumandos. Veamos:
9+(-7)=(-7)+9=2
No es de extrañar que también haya resultados que tienen signo negativo, cuando el sustraendo es mayor que el minuendo o tengamos más de una resta en forma asociativa:
8-4-6-3=-5

Siga leyendo sobre Ejercicios De Números Enteros:

Multiplicación de números enteros

Al multiplicar, el orden de los factores no altera el producto, pero si tenemos una cantidad par de números negativos, el resultado será positivo.

Y si tenemos un número impar de números negativos, el producto será negativo:
3 \times 4 \times -2 \times -1= 24
En la multiplicación anterior, hay una cantidad par de números negativos, son dos números negativos.
-3\times 4\times -2\times -1 = -24
En la multiplicación anterior, la cantidad de números negativos es impar, son tres números negativos y por lo tanto el mismo resultado, tiene un signo negativo por asociación de signos.

División de números enteros

Cuando se realiza una división de números enteros, se tiene que tomar en cuenta que dicha operación debe tener un cociente entero, pues de lo contrario se estaría excluyendo al resultado del conjunto de números en la recta numérica de enteros.

Entonces se debe encontrar el factor común de dos números para determinar si su cociente va a terminar como un número entero o no.
8 \div 2 = 4
Esta división se encuentra dentro de la recta numérica de enteros porque su cociente es un número entero. Al igual que la siguiente:
135 \div 9 = 15

Potenciación de números enteros

En la potenciación de números enteros, la potencia siempre tiene que ser positiva, ya que cualquier potencia negativa da como resultado un número racional:
8^3=512
Pero, si se tiene una base negativa, el resultado puede variar de signo en relación directa con la potencia.

Si se trata de una potencia par, el resultado es positivo, y si se trata de una potencia impar, entonces el resultado será negativo:
-6^4=1296
-9^3=-729

Ecuaciones con números enteros

En algebra se utilizan mucho los números enteros:
8x+4=-12
8x=-12-4
8x=-16
x=-16 \div 8
x=-2

Problemas de números enteros

Existen problemas de números enteros que pueden ser resueltos a través de lógica y no con operaciones, como por ejemplo, ordenar el siguiente conjunto de números:
9, -5, -4, 4, -1, 5, -3, 0, 8
Ordenados de menor a mayor, este conjunto de enteros quedaría así:
-5, -4, -3, -1, 0, 4, 8, 9
O también se puede conseguir el número opuesto de cada uno de los siguientes enteros:
-5, 5, -3, 0, -6, -1, 9
Sus opuestos son:
-5, 5
5, -5
-3, 3
0, 0
-6, 6
-1, 1
9, -9

Esto concluye nuestra discusión sobre ejercicios de números enteros.