Máximo Común Divisor

Bienvenidos al máximo común divisor, o mcd en definitiva.

Aquí te contamos todo sobre este concepto matemático.

En concreto, respondemos a qué es un máximo común divisor, cómo calcularlo mediante tres métodos diferentes y para qué se utiliza, junto con ejemplos.

Calculadora del máximo común divisor

Nuestra calculadora del máximo factor común puede calcular el gcd de dos o más enteros.

Sólo tienes que introducir los números separados por comas y esta herramienta se encarga del resto.

El mcd es...

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Qué es el máximo común divisor?

Si te has preguntado qué es el máximo factor común, entonces has llegado al sitio correcto.

Siguiendo leyendo aprenderás todo al respecto.

Si sólo quieres calcular el mcd de dos o más números enteros, entonces dirígete directamente a nuestra calculadora del máximo común divisor.

Definición del máximo común divisor

La definición de máximo común divisor es:

El mcd de dos números enteros a y b es el mayor número entero positivo que divide a los números a y b sin un resto.

Dicho de otra manera, es el máximo común divisor de a y b.

El m.c.d. de dos números a y b se suele escribir como mcd(a,b).

Ejemplos del máximo común divisor

Por ejemplo, el máximo común divisor de a = 15 y b = 45 es 15.

Quince es el mayor número entero que puede dividir tanto a 15 como a 45 sin que quede un resto, es decir, mod = 0.

Si a = 16 y b = 52, el resultado es igual a 4.

16/4 = 4 y 52/4 = 13.

No hay ningún número mayor que cuatro para el que la división euclidiana de 16 y 52 produzca 0 como resto.

Cómo encontrar el máximo común divisor

Obviamente, cómo hallar el máximo común divisor está en el primer plano de las preguntas que puedas tener.

Vamos a mostrarte tres métodos: la intersección, el mínimo común múltiplo y la factorización de primos.

Pero primero tenemos que empezar por responder a qué es un factor común?

Qué es un factor común

Se supone que los factores de a son n, p, q, s, u y los factores de b son o, p, q, r, v.

Los factores que cruzan los dos conjuntos anteriores son p y q. Por tanto, p y q son factores comunes.

Hallar el máximo común divisor por intersección

Utilizando los factores de intersección de a ∩ factores de b de arriba ya sabemos cuáles son factores comunes y cuáles son los factores comunes de nuestro conjunto.

Para encontrar el máximo común divisor lo único que tenemos que hacer es identificar el elemento más grande de la lista {p,q}:

Si p > q entonces p es el mcd de a y b. Si q > p entonces q es el mcd(a,b).

Por ejemplo, con a = 15 y b = 45: Los factores de 15 = 1, 3, 5, 15 y los factores de 55 son 1, 3, 5, 9, 15, 45.

Los factores comunes de 15 y 45 son 1, 3, 5, 15, porque aparecen en ambos conjuntos.

El 15 es el máximo común divisor que aparece en ambos conjuntos.

Puedes encontrar los factores de cualquier número con nuestra calculadora de factores:

son...

Por definición, los números negativos (raramente utilizados) que se ven en la salida también son factores.

Hallar el máximo común divisor por MCM

El máximo común divisor de a y b puede calcularse utilizando el mínimo común múltiplo, también conocido como mcm, de a y b.

Esta es la aproximación más rápida si se conoce el concepto de mínimo común múltiplo abreviado como mcm:

mcd (a,b) = \frac{a \times b}{mcm(a,b)}

mcd (15,45) = \frac{15 \times 45}{mcm(15,45)} = \frac{675}{45} = 15

Hallar el máximo común divisor por factorización de primos

El gcd de a y b se puede encontrar utilizando la factorización de primos de a y b:

Sea esta la factorización prima de a: p1 x p2
Sea ésta la factorización prima de b: p1 x p1 x p2 x p3

Los factores primos y las multiplicidades que tienen en común a y b son: p1 x p2:
p1 x p2 es el mcd de a y b.

Por ejemplo:

La factorización prima de a es: 3 x 5
La factorización primaria de b es: 3 x 3 x 5

Los factores primos y las multiplicidades que tienen en común 15 y 45 son: 3 x 5.
3 x 5 = 15 es el mcd(15/45).

Puedes encontrar la factorización primaria de cualquier número utilizando nuestra calculadora de factores primos:

es...

Al leer hasta aquí ya sabes cómo encontrar el mcd de dos enteros cualesquiera a y b.

¿Para qué se utiliza el máximo común factor?

Respuesta: Es útil para reducir fracciones como a / b.

Basta con dividir tanto el nominador como el denominador por el mcd(a,b) para reducir la fracción a su forma más simple.

\frac{a}{b} = \frac{\frac{a}{gcf(a,b)}}{\frac{b}{gcf(a,b)}} = \frac{a}{b} en su forma más simple.

With b = 45 and a = 15:

\frac{15}{45} = \frac{\frac{15}{15}}{\frac{45}{15}} = \frac{1}{3}.

Recuerda el máximo común divisor para simplificar fracciones.

Propiedades del MCD

Las propiedades más importantes del mcd(a,b) son:

  • Propiedad conmutativa: mcd(a,b) = mcd(b,a)
  • Propiedad asociativa: mcd(a,b,c) = mcd(mcd(a,b),c) n\neq 0 \thinspace\in\thinspace\mathbb{Z}

La asociatividad es especialmente útil para obtener la mcd de tres o más números; nuestra calculadora hace uso de ella.

A no ser que estudies matemáticas, la conmutatividad y la asociatividad son suficientes en la escuela.
Máximo Común Divisor

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Lo mismo ocurre si escribes qué es mcd o qué es el máximo común divisor en tu buscador favorito.

Ten en cuenta que puedes encontrar el máximo común divisor de muchos pares de enteros utilizando el formulario de búsqueda de la barra lateral de este sitio web.

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